实验3 频谱泄漏
3.1 实验目的
（1）理解这里的误差（偏差）概念，是指处理之后相对于处理之前的变化。
（2）理解 $x(n)$ 如何通过DFT来反映表达 $x(t)$ 的频谱情况。
（3）频谱泄漏是指离散序列 $x(n)$ DFT相对于原信号 $x(t)$ 在频谱上多显示出的频率成分。
（4）产生频谱泄漏的根本原因，是对原信号 $x(t)$ 的截短；信号截短之后，相对于截短之前的原信号一定发生泄漏，与时域离散化无关，与DFT无关。
（6）理解DFT对频谱泄漏的呈现形态，与DTFT频谱离散化的频率取样点位置方式有关。
3.2 实验原理
1）对 $x(t)$ 做CFT，记录观察频谱的幅频特性；
2）对 $x(t)$ 在时域上截短，记录观察频谱的幅频特性；
3）对截短后连续信号离散化得到 $x(n)$，对 $x(n)$ 做DTFT，记录观察幅频特性。
3.3 实验内容
设 $x(t)=e^{j2\pi f_1 t}+e^{j2\pi f_2 t}$，式中 $f_1=24Hz$，$f_2=60Hz$。
（1）对 $x(t)$ 做CFT并进行幅度归一化，给出 $X(j\Omega)$ 表达式，说明其幅频特性。
（2）判断 $x(t)$ 是否为周期函数。如果是，则确定 $x(t)$ 的最小周期 $T_0$ 和基频 $\Omega_0$，对 $x(t)$ 进行FS展开，给出 $X(m\Omega_0)$ 表达式，说明其幅频特性，并与上述CFT的结果进行比较讨论。
（3）对 $x(t)$ 用矩形窗截短，得到 $x_1(t)$。矩形窗宽度的选择，分为两种情况：矩形窗宽度等于 $x(t)$ 最小周期 $T_0$ 的整倍数（记为 $R_1$）；矩形窗宽度不等于 $x(t)$ 最小周期 $T_0$ 的整倍数（记为 $R_2$）。
在 $R_1$ 和 $R_2$ 两种宽度下，对 $x_1(t)$ 分别做CFT，画出 $X_1(j\Omega)$ 的幅频特性曲线，并与 $X(j\Omega)$ 的幅频特性进行比较讨论。
（4）分别取 $f_{s1}$，$f_{s2}$，在 $R_1$ 和 $R_2$ 两种宽度下，对 $x_1(t)$ 进行离散化，对取样序列 $x_1(n)$ 做DTFT。画出 $X_1(e^{j\omega})$ 幅频特性曲线（频域表示范围取两个周期），并与 $X(j\Omega)$ 和 $X_1(j\Omega)$ 的幅频特性进行比较讨论。其中：
$f_{s1}=\frac{1}{2T_0}$，$f_{s2}=\frac{1}{1.6T_0}$
（5）在 $R_1$ 和 $R_2$ 两种宽度下，对 $x_1(n)$ 做DFT，画出 $X_1(k)$ 完整的幅频特性曲线（$k=0,1,…,N-1$），并与 $X_1(e^{j\omega})$、$X(j\Omega)$ 和 $X_1(j\Omega)$ 的幅频特性进行比较讨论。
（6）在 $R_1$ 和 $R_2$ 两种宽度下，对 $x_1(n)$ 补两倍长度于自身的零值形成延长序列 $x_2(n)$。对 $x_2(n)$ 做DFT，画出 $X_2(k)$ 完整的幅频特性曲线（$k=0,1,…,N-1$），并与 $X_1(k)$、$X_1(e^{j\omega})$、$X(j\Omega)$ 和 $X_1(j\Omega)$ 的幅频特性进行比较讨论。
3.4 仿真结果
3.5 结果分析
(1) CFT 表达式与特性：
信号 $x(t) = e^{j2\pi f_1 t} + e^{j2\pi f_2 t}$。其 CFT 为：$$X(j\Omega) = 2\pi\delta(\Omega - 2\pi f_1) + 2\pi\delta(\Omega - 2\pi f_2)$$归一化幅度后，在 $24\text{Hz}$ 和 $60\text{Hz}$ 处有两个单位冲激。其幅频特性是离散的谱线。
(2) 周期性与 FS：
$f_1=24, f_2=60$，其比值为 $24/60 = 2/5$（有理数），故 $x(t)$ 是周期函数。
基频： $f_0 = \gcd(24, 60) = 12\text{Hz}$。
最小周期： $T_0 = 1/f_0 = 1/12 \approx 0.0833\text{s}$。
FS 展开： $x(t) = a_2 e^{j2\cdot 2\pi f_0 t} + a_5 e^{j5\cdot 2\pi f_0 t}$，其中系数 $a_2=1, a_5=1$。
比较： FS 系数 $X(m\Omega_0)$ 在基频倍数处取值，与 CFT 的冲激强度对应。
(3) 矩形窗截断 ($R_1$ vs $R_2$)：
$R_1$ (整倍数周期)：
频谱主瓣对准信号频率，旁瓣相互抵消，在对应频率处无能量泄漏。
$R_2$ (非整倍数周期)：
发生频谱泄漏，波形不再是理想冲激，而是由 $sinc$ 函数叠加而成的波动。
(4) 采样与 DTFT：
采样频率 $f_{s1} = 1/(2T_0) = 6\text{Hz}$，显著低于信号频率（$24\text{Hz}, 60\text{Hz}$），不满足采样定理，会发生严重的混叠 (Aliasing)。
(5) DFT 与 DTFT 的比较讨论：
$R_1$ 情况（周期整倍数截断）：
由于截断长度是信号周期的整数倍，信号的频率成分恰好落在 DFT 的频率采样点（谱线）上。此时，主瓣峰值被准确采样，而所有旁瓣零点也恰好被采样，因此没有频谱泄漏，谱线清晰。
$R_2$ 情况（非整倍数截断）：
信号频率不落在 DFT 的样点上，主瓣能量分散到相邻的频率轴上，产生频谱泄漏。在幅度谱上表现为原本的尖峰变宽，且基底抬高。
关系：
$X_1(k)$ 实际上是对连续谱 $X_1(e^{j\omega})$ 在 $[0, 2\pi]$ 范围内的 $N$ 点等间隔采样。
(6) 补零后的 DFT ($x_2(n)$) 讨论：
补零的作用：
对时域序列补零后进行 DFT，等效于在频域对 $X_1(e^{j\omega})$ 进行更细密的采样（插值）。
对比：
补零后的 $X_2(k)$ 谱线变得更密，包络更加平滑，更接近 DTFT 的连续曲线。
3.6 代码
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