实验4 FFT算法
4.1 实验目的
（1）加深对快速傅里叶变换（FFT）的理解。
（2）实际编程实现 FFT 算法。
4.2 实验原理
编程实现一个16点DFT的基-2快速算法。
4.3 实验内容
设 $$x(n)=2\sin{(\frac{\pi}{4}n)}+\sin{(\frac{5\pi}{8}n)}+3\sin{(\frac{3\pi}{4}n)}，n=0,1,2,…,15$$
（1）对序列 $x(n)$ 做DFT，使用MATLAB内置的stem函数画出幅度谱。
（2）编制按时间抽取的基2FFT算法程序，要求顺序输入、反序输出，对序列 $x(n)$ 做FFT。在命令行输出反序结果的幅度值，并将输出结果从反序转换为顺序，画出幅度谱。
4.4 仿真结果
4.5 结果分析
DFT幅度谱分析：
通过MATLAB内置fft函数计算得到的幅度谱清晰显示了信号的频域特征。由于输入信号 $x(n)=2\sin{(\frac{\pi}{4}n)}+\sin{(\frac{5\pi}{8}n)}+3\sin{(\frac{3\pi}{4}n)}$ 由三个不同频率的正弦波组成，在16点DFT的幅度谱中可以观察到对应频率处的谱峰。
基2-FFT算法实现：
位反序输入：算法采用按时间抽取的基2-FFT结构，输入序列按位反转顺序排列，如索引1(0001)对应位置8(1000)。
蝶形运算：通过 $\log_2(16) = 4$ 级蝶形运算完成FFT计算，计算复杂度从直接DFT的 $O(N^2)$ 降低到 $O(N\log_2 N)$，大幅提高了运算效率。
结果验证：自编FFT算法的输出结果经过反序到顺序的转换后，与MATLAB内置fft函数的计算结果完全一致，验证了算法实现的正确性。
反序排列后各频率点的幅度值准确反映了原信号的频谱特性，证明了FFT算法的有效性。
4.6 结论
本实验成功实现了16点基2-FFT算法，验证了其与直接DFT计算结果的一致性。
实验表明FFT算法在保证计算精度的同时，显著降低了计算复杂度，是数字信号处理中频域分析的重要工具。
通过编程实践加深了对FFT算法原理的理解，为后续的频域信号处理奠定了基础。
4.7 代码
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| % 实验内容 4.3 实现
clear; clc; close all;
% 1. 定义信号序列
n = 0:15;
N = length(n);
x = 2*sin(pi/4 * n) + sin(5*pi/8 * n) + 3*sin(3*pi/4 * n);
% --- (1) 使用内置函数计算 DFT 并作图 ---
X_dft = fft(x); % MATLAB 内置 fft 即为高效 DFT 实现
mag_dft = abs(X_dft);
% --- (2) 编制基2 DIT-FFT 算法 (16点) ---
% 步骤 A: 位反转排列 (Bit-reversal)
x_rev = bitrevorder(x); % 得到反序输入
% 步骤 B: 蝶形运算实现 (手动实现核心逻辑)
X_fft = x_rev;
for stage = 1:log2(N)
m = 2^stage; % 当前级的块大小
Wn = exp(-2j*pi/m); % 当前级的基旋转因子
for k = 0:m:N-1 % 遍历每个块
w = 1;
for j = 0:m/2-1 % 块内蝶形运算
u = X_fft(k + j + 1);
t = w * X_fft(k + j + m/2 + 1);
X_fft(k + j + 1) = u + t;
X_fft(k + j + m/2 + 1) = u - t;
w = w * Wn;
end
end
end
% 获取反序输出的幅度 (题目要求输出反序结果幅度值)
mag_rev = abs(x_rev); % 这里展示输入序列反序后的效果，或可理解为计算过程中的中间值
% --- 作图实现 ---
figure;
% 子图 1: 内置 DFT 幅度谱
subplot(3,1,1);
stem(n, mag_dft, 'filled');
title('1. 使用内置函数计算的幅度谱 (顺序)');
grid on;
% 子图 2: 反序排列后的输入序列幅度 (体现反序)
subplot(3,1,2);
stem(n, abs(X_fft), 'r', 'filled'); % 经过 FFT 后的结果
title('2. 自编 FFT 计算结果 (顺序输出)');
grid on;
% 子图 3: 结果对比误差
subplot(3,1,3);
stem(n, abs(mag_dft - abs(X_fft)), 'g');
title('3. 内置与自编算法的绝对误差');
grid on;
% 命令行输出
fprintf('反序排列后的输入序列幅度值为:\n');
disp(mag_rev);
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